Vyřešeno 14 z 16 otázek.

1 Vypočtěte, o kolik cm² je plocha o obashu 0,2 m² větší než plocha o obsahu 20 cm².

Řešení úloha 1

1. plocha=0,2 m2 převod na cm2

Převeď 0,2 (m2) na cm2.

0,2 * 10 000 = 2 000

1. plocha=2 000 cm2

2. plocha=20 cm2

Porovnej 1. plocha a 2. plocha. O kolik?

2 000 - 20 = 1 980

1. plocha více než 2. plocha o 1 980 cm2

2 Vypočítejte:

2.1

(1{,}5^2 - 0{,}3^2)\div6=

2.2

\sqrt{\frac{2\cdot2^2}{3}}\cdot\sqrt{\frac32}=

Řešení úloha 2.1

Vyhodnotit

$0.36$

Postup řešení

Výpočtem $1.5$ na $2$ získáte $2.25$ .

\frac{2.25-0.3^{2}}{6}

Proveďte výpočet.

Výpočtem $0.3$ na $2$ získáte $0.09$ .

\frac{2.25-0.09}{6}

Proveďte výpočet.

Odečtěte $0.09$ od $2.25$ a dostanete $2.16$ .

\frac{2.16}{6}

Odečtěte jeden člen od druhého.

Rozbalte položku $\frac{2.16}{6}$ vynásobením čitatele a jmenovatele čáslem $100$ .

\frac{216}{600}

Vykraťte zlomek $\frac{216}{600}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $24$ .

\frac{9}{25}

Řešení úloha 2.2

Vyhodnotit

$2$

Postup řešení

Pokud chcete vynásobit mocniny stejného mocněnce, sečtěte jejich mocnitele. Sečtením $1$ a $2$ získáte $3$ .

\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}\sqrt{\frac{3}{2}}

Slučte mocnitele.

Výpočtem $2$ na $3$ získáte $8$ .

\sqrt{\frac{8}{3}}\sqrt{\frac{3}{2}}

Proveďte výpočet.

Odpište druhou odmocninu divize $\sqrt{\frac{8}{3}}$ jako divizi čtvercových kořenových složek $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}$ .

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3}{2}}

Rozložte $8=2^{2}\times 2$ na součin. Odpište druhou odmocninu produktu $\sqrt{2^{2}\times 2}$ jako součin čtvercových kořenových složek $\sqrt{2^{2}}\sqrt{2}$ . Vypočítejte druhou odmocninu čísla $2^{2}$ .

\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{3}{2}}

Převeďte jmenovatele $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ vynásobením čitatele a jmenovatele $\sqrt{3}$ .

\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\sqrt{\frac{3}{2}}

Mocnina hodnoty $\sqrt{3}$ je $3$ .

\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3}}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}

Chcete-li vynásobit $\sqrt{2}$ a $\sqrt{3}$ , vynásobte čísla v druhé odmocnině.

\frac{2\sqrt{6}}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}

Odpište druhou odmocninu divize $\sqrt{\frac{3}{2}}$ jako divizi čtvercových kořenových složek $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{2\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

Převeďte jmenovatele $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ vynásobením čitatele a jmenovatele $\sqrt{2}$ .

\frac{2\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}

Mocnina hodnoty $\sqrt{2}$ je $2$ .

\frac{2\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2}

Chcete-li vynásobit $\sqrt{3}$ a $\sqrt{2}$ , vynásobte čísla v druhé odmocnině.

\frac{2\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{6}}{2}

Vynásobte zlomek $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ zlomkem $\frac{\sqrt{6}}{2}$ tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

\frac{2\sqrt{6}\sqrt{6}}{3\times 2}

Vykraťte $2$ v čitateli a jmenovateli.

\frac{\sqrt{6}\sqrt{6}}{3}

Vynásobením $\sqrt{6}$ a $\sqrt{6}$ získáte $6$ .

\frac{6}{3}

Proveďte výpočet.

Vydělte číslo $6$ číslem $3$ a dostanete $2$ .

2

3 Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Do záznamového archu uveďte u obou podúloh celý postupu řešení.

3.1

0{,}2-0{,}2\cdot\frac{5}{12}-\left(-\frac{7}{30}\right)=

3.2

\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}{\frac{4}{9}-\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{15}}=

Řešení úloha 3.1

Vyhodnotit

$0.35$

Postup řešení

Umožňuje převést desetinné číslo $0.2$ na zlomek $\frac{2}{10}$ . Vykraťte zlomek $\frac{2}{10}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $2$ .

0.2-\frac{1}{5}\times \frac{5}{12}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Vynásobte zlomek $\frac{1}{5}$ zlomkem $\frac{5}{12}$ tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

0.2-\frac{1\times 5}{5\times 12}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Vykraťte $5$ v čitateli a jmenovateli.

0.2-\frac{1}{12}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Umožňuje převést desetinné číslo $0.2$ na zlomek $\frac{2}{10}$ . Vykraťte zlomek $\frac{2}{10}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $2$ .

\frac{1}{5}-\frac{1}{12}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Nejmenší společný násobek čísel $5$ a $12$ je $60$ . Převeďte $\frac{1}{5}$ a $\frac{1}{12}$ na zlomky se jmenovatelem $60$ .

\frac{12}{60}-\frac{5}{60}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Vzhledem k tomu, že $\frac{12}{60}$ a $\frac{5}{60}$ mají stejného jmenovatele, můžete je odečíst odečtením jejich čitatelů.

\frac{12-5}{60}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Odečtěte $5$ od $12$ a dostanete $7$ .

\frac{7}{60}-\left(-\frac{7}{30}\right)

Opakem $-\frac{7}{30}$ je $\frac{7}{30}$ .

\frac{7}{60}+\frac{7}{30}

Proveďte výpočet.

Nejmenší společný násobek čísel $60$ a $30$ je $60$ . Převeďte $\frac{7}{60}$ a $\frac{7}{30}$ na zlomky se jmenovatelem $60$ .

\frac{7}{60}+\frac{14}{60}

Vzhledem k tomu, že $\frac{7}{60}$ a $\frac{14}{60}$ mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

\frac{7+14}{60}

Sečtením $7$ a $14$ získáte $21$ .

\frac{21}{60}

Vykraťte zlomek $\frac{21}{60}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $3$ .

\frac{7}{20}

Řešení úloha 3.2

Vyhodnotit

$\frac{5}{4}=1.25$

Postup řešení

Nejmenší společný násobek čísel $4$ a $6$ je $12$ . Převeďte $\frac{1}{4}$ a $\frac{1}{6}$ na zlomky se jmenovatelem $12$ .

\frac{\frac{3}{12}+\frac{2}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{5}{6}\times \frac{2}{15}}

Vzhledem k tomu, že $\frac{3}{12}$ a $\frac{2}{12}$ mají stejného jmenovatele, můžete je sečíst sečtením jejich čitatelů.

\frac{\frac{3+2}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{5}{6}\times \frac{2}{15}}

Sečtením $3$ a $2$ získáte $5$ .

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{5}{6}\times \frac{2}{15}}

Vynásobte zlomek $\frac{5}{6}$ zlomkem $\frac{2}{15}$ tak, že vynásobíte čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{5\times 2}{6\times 15}}

Proveďte násobení ve zlomku $\frac{5\times 2}{6\times 15}$ .

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{10}{90}}

Vykraťte zlomek $\frac{10}{90}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $10$ .

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{4}{9}-\frac{1}{9}}

Vzhledem k tomu, že $\frac{4}{9}$ a $\frac{1}{9}$ mají stejného jmenovatele, můžete je odečíst odečtením jejich čitatelů.

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{4-1}{9}}

Odečtěte $1$ od $4$ a dostanete $3$ .

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{3}{9}}

Vykraťte zlomek $\frac{3}{9}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $3$ .

\frac{\frac{5}{12}}{\frac{1}{3}}

Vydělte číslo $\frac{5}{12}$ zlomkem $\frac{1}{3}$ tak, že číslo $\frac{5}{12}$ vynásobíte převrácenou hodnotou zlomku $\frac{1}{3}$ .

\frac{5}{12}\times 3

Pokud chcete číslo vydělit zlomkem, vynásobte ho převráceným zlomkem.

Vyjádřete $\frac{5}{12}\times 3$ jako jeden zlomek.

\frac{5\times 3}{12}

Vynásobením $5$ a $3$ získáte $15$ .

\frac{15}{12}

Vykraťte zlomek $\frac{15}{12}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $3$ .

\frac{5}{4}

4

4.1 Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

x^2 - (x - 2y)\cdot(x+2y)=

4.2 Rozložte na součin podle vzorce:

(5n-8)\cdot(-3n)+(4n-3)^2=

4.3 Zjednodušte a výsledek rozložte na součin vytýkáním:

7\cdot3+10\cdot({a^2}+10)-a\cdot(a+66)=

Řešení úloha 4.1

Vyhodnotit

$4y^{2}$

Postup řešení

Zvažte $\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)$ . Násobení je možné převést na rozdíl druhých mocnin pomocí tohoto pravidla: $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}$ .

x^{2}-\left(x^{2}-\left(2y\right)^{2}\right)

Roznásobte $\left(2y\right)^{2}$ .

x^{2}-\left(x^{2}-2^{2}y^{2}\right)

Roznásobte mocnitele.

Výpočtem $2$ na $2$ získáte $4$ .

x^{2}-\left(x^{2}-4y^{2}\right)

Proveďte výpočet.

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k $x^{2}-4y^{2}$ , najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

x^{2}-x^{2}+4y^{2}

Sloučením $x^{2}$ a $-x^{2}$ získáte $0$ .

4y^{2}

Slučte stejné členy.

Řešení úloha 4.2

Vyhodnotit

$n^{2}+9$

Postup řešení

S využitím distributivnosti vynásobte číslo $5n-8$ číslem $-3$ .

\left(-15n+24\right)n+\left(4n-3\right)^{2}

Proveďte roznásobení s využitím distributivnosti.

S využitím distributivnosti vynásobte číslo $-15n+24$ číslem $n$ .

-15n^{2}+24n+\left(4n-3\right)^{2}

Proveďte roznásobení s využitím distributivnosti.

Rozviňte výraz $\left(4n-3\right)^{2}$ podle binomické věty $\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ .

-15n^{2}+24n+16n^{2}-24n+9

Sloučením $-15n^{2}$ a $16n^{2}$ získáte $n^{2}$ .

n^{2}+24n-24n+9

Slučte stejné členy.

Sloučením $24n$ a $-24n$ získáte $0$ .

n^{2}+9

Slučte stejné členy.

Řešení úloha 4.3

Vyhodnotit

$\left(3a-11\right)^{2}$

Postup řešení

Vynásobením $7$ a $3$ získáte $21$ .

21+10\left(a^{2}+10\right)-a\left(a+66\right)

Vynásobte dva činitele.

S využitím distributivnosti vynásobte číslo $10$ číslem $a^{2}+10$ .

21+10a^{2}+100-a\left(a+66\right)

Proveďte roznásobení s využitím distributivnosti.

Sečtením $21$ a $100$ získáte $121$ .

121+10a^{2}-a\left(a+66\right)

Sečtěte dva členy.

S využitím distributivnosti vynásobte číslo $a$ číslem $a+66$ .

121+10a^{2}-\left(a^{2}+66a\right)

Proveďte roznásobení s využitím distributivnosti.

Pokud chcete najít opačnou hodnotu k $a^{2}+66a$ , najděte opačnou hodnotu k jednotlivým členům.

121+10a^{2}-a^{2}-66a

Sloučením $10a^{2}$ a $-a^{2}$ získáte $9a^{2}$ .

121+9a^{2}-66a

Slučte stejné členy.

5 Řešte soustavu rovnic.

Do záznamového archu uveďte u obou podúloh celý postupu řešení.
Zkoušku nazapisujte.

5.1

\frac{1}{5}y+\frac{1}{2}=2\cdot\left(y+\frac{1}{4}\right)

5.2

\begin{aligned} 3x+\frac{3}{4}y = 1\\ 3,5y+3x = 6,5 \end{aligned}

Řešení úloha 5.1

Vyřešte pro: y

$y=0$

Postup řešení lineární rovnice

S využitím distributivnosti vynásobte číslo $2$ číslem $y+\frac{1}{4}$ .

\frac{1}{5}y+\frac{1}{2}=2y+2\times \frac{1}{4}

Proveďte roznásobení s využitím distributivnosti.

Vynásobením $2$ a $\frac{1}{4}$ získáte $\frac{2}{4}$ .

\frac{1}{5}y+\frac{1}{2}=2y+\frac{2}{4}

Vykraťte zlomek $\frac{2}{4}$ na základní tvar vytknutím a vykrácením hodnoty $2$ .

\frac{1}{5}y+\frac{1}{2}=2y+\frac{1}{2}

Odečtěte $2y$ od obou stran.

\frac{1}{5}y+\frac{1}{2}-2y=\frac{1}{2}

Sloučením $\frac{1}{5}y$ a $-2y$ získáte $-\frac{9}{5}y$ .

-\frac{9}{5}y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Slučte stejné členy.

Odečtěte $\frac{1}{2}$ od obou stran.

-\frac{9}{5}y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}

Odečtěte $\frac{1}{2}$ od $\frac{1}{2}$ a dostanete $0$ .

-\frac{9}{5}y=0

Odečtěte jeden člen od druhého.

Součin dvou čísel je roven $0$ , pokud aspoň jedno z nich je $0$ . Protože $-\frac{9}{5}$ není rovno $0$ , $y$ se musí rovnat $0$ .

y=0

Řešení úloha 5.2

Vyřešte pro: x, y

$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$ <br/> $y=2$

Postup použití dosazení

Pokud chcete dvojici rovnic řešit pomocí dosazování, vyřešte nejdříve jednu proměnnou v jedné z rovnic. Výsledek této proměnné pak dosaďte do druhé rovnice.

3x+\frac{3}{4}y=1;3x+3,5y=6,5

Zvolte jednu z rovnic a vyřešte ji pro $x$ izolováním $x$ na levé straně rovnice.

3x+\frac{3}{4}y=1

Odečtěte hodnotu $\frac{3y}{4}$ od obou stran rovnice.

3x=-\frac{3}{4}y+1

Vydělte obě strany hodnotou $3$ .

x=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{4}y+1\right)

Vynásobte číslo $\frac{1}{3}$ číslem $-\frac{3y}{4}+1$ .

x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}

Dosaďte $-\frac{y}{4}+\frac{1}{3}$ za $x$ ve druhé rovnici, $3x+3,5y=6,5$ .

3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}\right)+3,5y=6,5

Vynásobte číslo $3$ číslem $-\frac{y}{4}+\frac{1}{3}$ .

-\frac{3}{4}y+1+3,5y=6,5

Přidejte uživatele $-\frac{3y}{4}$ do skupiny $\frac{7y}{2}$ .

\frac{11}{4}y+1=6,5

Odečtěte hodnotu $1$ od obou stran rovnice.

\frac{11}{4}y=5,5

Vydělte obě strany rovnice hodnotou $\frac{11}{4}$ , což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

y=2

V rovnici $x=-\frac{1}{4}y+\frac{1}{3}$ dosaďte $y$ za proměnnou $2$ . Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné $x$ vypočítat přímo.

x=-\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{3}

Vynásobte číslo $-\frac{1}{4}$ číslem $2$ .

x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}

Připočítejte $\frac{1}{3}$ ke $-\frac{1}{2}$ zjištěním společného jmenovatele a sečtením čitatelů. Pak vykraťte zlomek na jeho základní tvar, pokud je to možné.

x=-\frac{1}{6}

Systém je teď vyřešený.

x=-\frac{1}{6};y=2

Postup použití matic

Rovnice přepište do standardního tvaru a pomocí matic pak vyřešte soustavu rovnic.

3x+\frac{3}{4}y=1;3x+3,5y=6,5

Napište rovnice ve tvaru matic.

\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

Vynásobte rovnici zleva inverzní maticí matice $\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right)$ .

inverse(\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

V případě součinu matice a její inverzní matice dostaneme jednotkovou matici.

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

Vynásobte matice na levé straně rovnice.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&\frac{3}{4}\\3&3,5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

Inverzní maticí matice $2\times 2$ $\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$ je matice $\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)$ , maticovou rovnici je proto možné přepsat do podoby úlohy násobení matic.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3,5}{3\times 3,5-\frac{3}{4}\times 3}&-\frac{\frac{3}{4}}{3\times 3,5-\frac{3}{4}\times 3}\\-\frac{3}{3\times 3,5-\frac{3}{4}\times 3}&\frac{3}{3\times 3,5-\frac{3}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

Proveďte výpočet.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{33}&-\frac{1}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\6,5\end{matrix}\right)

Vynásobte matice.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{33}-\frac{1}{11}\times 6,5\\-\frac{4}{11}+\frac{4}{11}\times 6,5\end{matrix}\right)

Proveďte výpočet.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\\2\end{matrix}\right)

Extrahuje prvky matice $x$ a $y$ .

x=-\frac{1}{6};y=2

Postup použití eliminace

Pokud chcete rovnici vyřešit eliminací, koeficienty jedné z proměnných musí být v obou rovnicích stejné, aby se při odečítání jedné rovnice od druhé proměnná odstranila.

3x+\frac{3}{4}y=1;3x+3,5y=6,5

Odečtěte rovnici $3x+3,5y=6,5$ od rovnice $3x+\frac{3}{4}y=1$ tak, že odečtete stejné členy na každé straně rovnice.

3x-3x+\frac{3}{4}y-3,5y=1-6,5

Přidejte uživatele $3x$ do skupiny $-3x$ . Členy $3x$ a $-3x$ se vykrátí, takže v rovnici zůstane jen jedna proměnná, kterou je možné vypočítat.

\frac{3}{4}y-3,5y=1-6,5

Přidejte uživatele $\frac{3y}{4}$ do skupiny $-\frac{7y}{2}$ .

-\frac{11}{4}y=1-6,5

Přidejte uživatele $1$ do skupiny $-6,5$ .

-\frac{11}{4}y=-5,5

Vydělte obě strany rovnice hodnotou $-\frac{11}{4}$ , což je totéž jako vynásobení obou stran převráceným zlomkem.

y=2

V rovnici $3x+3,5y=6,5$ dosaďte $y$ za proměnnou $2$ . Vzhledem k tomu, že výsledná rovnice obsahuje jen jednu proměnnou, můžete hodnotu proměnné $x$ vypočítat přímo.

3x+3,5\times 2=6,5

Vynásobte číslo $3,5$ číslem $2$ .

3x+7=6,5

Odečtěte hodnotu $7$ od obou stran rovnice.

3x=-0,5

Vydělte obě strany hodnotou $3$ .

x=-\frac{1}{6}

Systém je teď vyřešený.

x=-\frac{1}{6};y=2

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6

Zahradník sázel na záhon sazenice. Sazenice salátů zasadil o 4 více než sazenic okurek.
Na záhoně čtvrtinu sazenic salátů zlikvidovali slimáci a šestina sazenic okurek uschla.
Všechny ostatní sazenice se ujaly. Na záhoně se tak ujal stejný počet sazenic salátů a okurek.

6 Určete,

6.1

kolik sazenic salátů zahradník zasadil,

6.2

kolik sazenic okurek se ujalo.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7

Stejné výrobky jsou po 12 kusech baleny do stejných krabic.

Na váhu se položily tři krabice, z nichž dvě byly plné, ale ve třetí krabici 5 výrobků chybělo.
Tyto tři krabice i s výrobky vážily dohromady 2 kg.

Když se z váhy odebraly obě plné krabice, display váhy ukazoval 480g.

7 Vypočtěte, jaká je hmotnost v gramech

7.1 jedné plné krabice,

7.2 jednoho výrobku,

7.3 jedné prázdné krabice.

Řešení úloha 7.1

3 krabice bez chybějící výrobků=2 000 gram

3 krabice bez chybějící výrobků - 2 plná krabice=480 gram

Vypočti 2 plná krabice(gram)?

2 000 - 480 = 1 520

2 plná krabice=1 520 gram 2 plná krabice=2 kus

Rozděl 1 520 (gram) rovnoměrně na 2 (kus)

1 520 / 2 = 760

760 gram per kus

Řešení úloha 7.2

760 gram per kus 3 plná krabice=3 kus

Vypočti 3 plná krabice(gram)?

3 * 760 = 2 280

3 plná krabice=2 280 gram

3 krabice bez chybějící výrobků=2 000 gram

Porovnej 3 plná krabice a 3 krabice bez chybějící výrobků. O kolik?

2 280 - 2 000 = 280

3 plná krabice více než 3 krabice bez chybějící výrobků o 280 gram

chybějící výrobky=280 gram

chybějící výrobky=5 kus

Rozděl 280 (gram) rovnoměrně na 5 (kus)

280 / 5 = 56

56 gram per kus

Řešení úloha 7.3

760 gram per kus

56 gram per kus

všechny výrobky v plné krabici=12 kus

Vypočti všechny výrobky v plné krabici(gram)?

12 * 56 = 672

plná krabice=760 gram

všechny výrobky v plné krabici=672 gram

Porovnej plná krabice a všechny výrobky v plné krabici. O kolik?

760 - 672 = 88

plná krabice více než všechny výrobky v plné krabici o 88 gram

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8

Z rohů čtverce se stranou délky 27 cm se nejprve odstřihnou čtyři shodné trojúhelníky a poté se vykreslí ornament.

Ornament obsahuje jeden tmavý čtyřúhelník uprostřed, čtyři shodné bílé obdélníky a čtyři shodné bílé trojúhelníky, jejichž kratší strany mají délky 9 cm a 12 cm. $alt text$

8 Vypočtěte

8.1 v cm obvod ornamentu (zakresleného vpravo),

8.2 v cm² celkový obsah bílých ploch ornamentu (zakresleného vpravo),

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9

V rovině leží trojúhelník ABC, na jehož straně BC je umístěn bod A'.

$alt text$

9 Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C', který je obrazem trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S.

Sestrojte a označte písmenem střed souměrnosti S. Sestrojte vrcholy B' a C' trojúhleníku A'B'C', označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.

V záznamovém archu obtáhněte celou konstrukci propisovací tužkou (čáry i písmena).

Řešení úloha 9

Sestrojit

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10

V rovině leží přímka AC a PX, které se protínají v bodě P.

$alt text$

10

Body A, C jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD se základnami AB, CD a pravým úhlem při vrcholu D. Bod P je průsečík úhlopříček tohoto lichoběžníku. Vrchol D leží na přímce PX.

Sestrojte vrcholy B,D pravoúhlého lichoběžníku ABCD, označte je písmeny a lichoběžník narýsujte.

Najděte všechna řešení.

V záznamovém archu obtáhněte celou konstrukci propisovací tužkou (čáry i písmena).

Řešení úloha 10

Sestrojit

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11

V náčrtku pravidelného desitiúhelníku se středem S jsou vyznačeny úhly $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .

$alt text$

11 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1-11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Úhly neměřte, náčrtek není přesný.

11.1 $\alpha={72}\degree$

11.2 $\beta<{66}\degree$

11.3 $\gamma=\alpha$

Řešení úloha 11.1

desitiúhelník=360 stupňů

desitiúhelník=10 úhlů

Rozděl 360 (stupňů) rovnoměrně na 10 (úhlů)

360 / 10 = 36

36 stupňů per úhlů alfa=2 úhlů

Vypočti alfa(stupňů)?

2 * 36 = 72

alfa=72 stupňů

Řešení úloha 11.2

36 stupňů per úhlů vrcholový úhel=3 úhlů

Vypočti vrcholový úhel(stupňů)?

3 * 36 = 108

vrcholový úhel=108 stupňů

rovnoramenný trojúhelník=180 stupňů

vrcholový úhel=108 stupňů

Vypočti rozdíl mezi 180 a 108

180 - 108 = 72

rovnoramenný trojúhelník - vrcholový úhel=72 stupňů

obě ramena=72 stupňů obě ramena=2 úhlů

Rozděl 72 (stupňů) rovnoměrně na 2 (úhlů)

72 / 2 = 36

36 stupňů per úhlů

beta=36 stupňů

Řešení úloha 11.3

rovnoramenný trojúhelník=180 stupňů vrcholový úhel=36 stupňů

Vypočti rozdíl mezi 180 a 36

180 - 36 = 144

rovnoramenný trojúhelník - vrcholový úhel=144 stupňů

obě ramena=144 stupňů obě ramena=2 úhlů

Rozděl 144 (stupňů) rovnoměrně na 2 (úhlů)

144 / 2 = 72

72 stupňů per úhlů

alfa=72 stupňů

gama=72 stupňů

Porovnej alfa a gama. O kolik?

72 - 72 = 0

alfa je rovno gama

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 12

Kytice byla svázána ze tří druhů květin: růží, chryzantém a static.

Růží a chryzantém dohromady je v kytici o 2 více než chryzantém a static dohromady. Počet růží ku počtu static je v poměru 5 : 4, počet static ku počtu chryzantémm v poměru 2 : 3.

V tabulce je u každého druhu květin uvedena cena za jeden kus. Cena celé kytice se získá jako součet cen jednotlivých květin, z nichž byla kytice svázána.

Druh květiny Cena za kus Počet kusů v kytici

Růže 54 korun

Chryzantéma 40 korun

Statice 35 korun

Druh květiny	Cena za kus	Počet kusů v kytici
Růže	54 korun
Chryzantéma	40 korun
Statice	35 korun

12 Kolik korun bude stát celá kytice?

[A] 1090 korun
[B] 1252 korun
[C] 1280 korun
[D] 1300 korun
[E] jinou částku

Řešení úloha 12

růže více než statice o 2 kus

růže více o 1/4 než statice

Vypočti statice(kus)?

2 / 1/4 = 8

statice=8 kus

růže více než statice o 2 kus

Vypočti růže(kus)?

8 + 2 = 10

růže=10 kus

54 cena per kus

Vypočti růže(cena)?

10 * 54 = 540

statice=8 kus

35 cena per kus

Vypočti statice(cena)?

8 * 35 = 280

statice=8 kus

kytice chryzantéma:statice v poměru 3:2 chryzantéma

Vypočti chryzantéma(kus)?

8 / 2 * 3 = 12

chryzantéma=12 kus

40 cena per kus

Vypočti chryzantéma(cena)?

12 * 40 = 480

růže=540 cena

statice=280 cena

chryzantéma=480 cena růže + chryzantéma + statice

Vypočti kytice(cena)?

540 + 280 + 480 = 1 300

kytice=1 300 cena

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13

Na čtvrtku papíru narýsujeme rovné čáry, které jsou rovnoběžné s jedním nebo s druhým okrajem čtvrty. Čáry jsou nakresleny přes celou čtvrtku a rozdělují ji na několik částí.

$alt text$

Např. na obrázku rozděluje 6 rovných čar čtvrtku na 15 částí.

13 Jaký je nejmenší počet rovných čar, které rozdělí čtvrtku na 40 částí?

[A] 11
[B] 12
[C] 13
[D] 14
[E] větší než 14

Řešení úloha 13

počet částí=40 část rozklad na prvočísla:2,2,2,5 seskup je do dvojic (2x20), (4x10), (8x5) najdi dvojici, která má nejmenší součet = (8x5)

počet pásem=8 počet pásem - počet čar=1

Vypočti počet čar?

8 - 1 = 7

počet pásem=5 počet pásem - počet čar=1

Vypočti počet čar?

5 - 1 = 4

počet čar=7

počet čar=4

Vypočti součet čar?

7 + 4 = 11

součet čar=11

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 14

Dřevěný domeček se skládá ze dvou kolmých hranolů a stojí na vodorovné podložce.
Plocha, kterou se domeček dotýká podložky, má obsah 16 cm².
V obrázku jsou označeny některé rozměry hranolů. Platí v = a.

$alt text$

14 Jaký je objem domečku?

[A] 42 cm³
[B] 48 cm³
[C] 56 cm³
[D] 64 cm³
[E] jiný objem

Řešení úloha 14

plocha domeček=16 čtverečků

plocha domeček rozděleno na 4 čtverec

Vypočti čtverec(čtverečků)?

16 / 4 = 4

čtverec=4 čtverečků rozklad na prvočísla:2,2

délka=8 cm

šířka=2 cm výška=2 cm délka * šířka * výška

Vypočti objem přízemí(krychliček)?

8 * 2 * 2 = 32

objem přízemí=32 krychliček objem střecha z objem přízemí=1/2

Vypočti objem střecha(krychliček)?

32 * 1/2 = 16

objem přízemí=32 krychliček

objem střecha=16 krychliček

Vypočti objem domeček(krychliček)?

32 + 16 = 48

objem domeček=48 krychliček

15 Přiřaďte ke každé úloze (15.1-15.3) odpovídající výsledek (A-F).

15.1 Tři pětiny objemu nádoby jsou zaplněny vodou. Celou nádobu zaplníme po dolití dalších 14 litrů vody. (Nádoba nepřeteče.)

Jaký je objem nádoby?

15.2 Voda v v nádobě vyplňuje 55 % jejího objemu. Když z nádoby odebereme 12 litrů vody, bude zaplněna přesně čtvrtina objemu nádoby.

Jaký je objem nádoby?

15.3

V každé ze tří stejných nádob je nalito jíné množství vody. V první nádobě vyplňuje voda 30 % jejího objemu a ve druhé nádobě 40 % objemu. Ve třetí nádobě je 19 litrů vody. Kdybychom vodu ze všech nádob rozdělili rovnoměrně, voda by v každé nádobě vyplnila dvě pětiny jejího objemu.

Jaký je objem jedné nádoby?

[A] 30 litrů
[B] 33 litrů
[C] 35 litrů
[D] 38 litrů
[E] 40 litrů
[F] jiný objem

Řešení úloha 15.1

zaplněno z celkem=3/5

Vyjádři poměrem zbytek z celkem?

1 - 3/5 = 2/5

zbytek z celkem=2/5

zbytek=14 litrů

Vypočti celkem(litrů)?

14 / 2/5 = 35

celkem=35 litrů

Řešení úloha 15.2

nově zaplněno z celek=1/4 celek=100 %

Vypočti nově zaplněno(%)?

100 * 1/4 = 25

původně zaplněno=55 %

nově zaplněno=25 %

Porovnej původně zaplněno a nově zaplněno. O kolik?

55 - 25 = 30

původně zaplněno více než nově zaplněno o 30 %

původně zaplněno více než nově zaplněno o 12 litrů

Rozděl 12 (litrů) rovnoměrně na 30 (%)

12 / 30 = 0,4

0,4 litrů per % celek=100 %

Vypočti celek(litrů)?

100 * 0,4 = 40

celek=40 litrů

Řešení úloha 15.3

naplněno průměr z nádoba celkem=2/5 nádoba celkem=100 %

Vypočti naplněno průměr(%)?

100 * 2/5 = 40

nádoba 1=30 %

naplněno průměr=40 %

Porovnej nádoba 1 a naplněno průměr. O kolik?

30 - 40 = -10

nádoba 1 méně než naplněno průměr o 10 %

10 %, nádoba 3 => nádoba 1

nádoba 3=40 %

Vypočti nádoba 3(%)?

40 - 10 = 50

nádoba 3=50 % základ=100 %

Vyjádři poměremnádoba 3 z základ?

50 / 100 = 1/2

nádoba 3 z základ=1/2

nádoba 3=19 litrů

Vypočti základ(litrů)?

19 / 1/2 = 38

základ=38 litrů

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 16

$alt text$

Pro každou dvojici obdélníků sestavených ze stejného počtu čtverečků platí:

Vyšší z obou obdélníků má vždy o jednu řadu čtverečků více než nižší obdélník.

Vyšší obdélník vznikne z nižšího obdélníku přesunutím několika sloupců do horní řady.

Počet přesunutých sloupců je vždy o 1 menší, než je počet řad v nižším obdélníku. Tedy z obdélníku se 2 řadami se přemístí 1 sloupec, z obdélníku se 3 řadami 2 sloupce, atd.

16

16.1

V jedné dvojici obdélníků má nižší obdélník 21 řad. V této dvojici určete počet sloupců ve vyšším obdélníku.

16.2

V jiné dvojici obdélníků má vyšší obdélník 110 sloupců. V této dvojici určete počet řad v nižším obdélníku.

Řešení úloha 16.1

nižší obdelník=21 řad

počet řad je vždy o 1 vyšší než počet sloupců

nižší obdelník=20 sloupec

nižší obdelník=21 řad řad * sloupec

Vypočti vyšší obdelník(sloupec)?

20 * 21 = 420

vyšší obdelník=420 sloupec

Řešení úloha 16.2

vyšší obdelník=110 sloupec rozklad na prvočísla:2,5,11 seskup je do dvojic (5x22), (10x11), (2x55) najdi dvojici, která má čísla za sebou = (10x11)

počet řad je vždy o 1 vyšší než počet sloupců

nižší obdelník=11 řad

1 Vypočtěte, o kolik cm2 je plocha o obashu 0,2 m2 větší než plocha o obsahu 20 cm2.

2 Vypočítejte:

2.1

2.2

Vyhodnotit

Vyhodnotit

3 Vypočítejte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

3.1

3.2

Vyhodnotit

Vyhodnotit

4

4.1 Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):

4.2 Rozložte na součin podle vzorce:

4.3 Zjednodušte a výsledek rozložte na součin vytýkáním:

Vyhodnotit

Vyhodnotit

Vyhodnotit

5 Řešte soustavu rovnic.

5.1

5.2

Vyřešte pro: y

Vyřešte pro: x, y

6 Určete,

6.1

6.2

7 Vypočtěte, jaká je hmotnost v gramech

7.1 jedné plné krabice,

7.2 jednoho výrobku,

7.3 jedné prázdné krabice.

8 Vypočtěte

8.1 v cm obvod ornamentu (zakresleného vpravo),

8.2 v cm2 celkový obsah bílých ploch ornamentu (zakresleného vpravo),

9 Bod A' je vrchol trojúhelníku A'B'C', který je obrazem trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S.

Sestrojit

10

Sestrojit

11 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1-11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

11.1 α=72°\alpha={72}\degreeα=72°

11.2 β<66°\beta<{66}\degreeβ<66°

11.3 γ=α\gamma=\alphaγ=α

12 Kolik korun bude stát celá kytice?

13 Jaký je nejmenší počet rovných čar, které rozdělí čtvrtku na 40 částí?

14 Jaký je objem domečku?

15 Přiřaďte ke každé úloze (15.1-15.3) odpovídající výsledek (A-F).

15.1 Tři pětiny objemu nádoby jsou zaplněny vodou. Celou nádobu zaplníme po dolití dalších 14 litrů vody. (Nádoba nepřeteče.)

15.2 Voda v v nádobě vyplňuje 55 % jejího objemu. Když z nádoby odebereme 12 litrů vody, bude zaplněna přesně čtvrtina objemu nádoby.

15.3

16

16.1

16.2

1 Vypočtěte, o kolik cm² je plocha o obashu 0,2 m² větší než plocha o obsahu 20 cm².

8.2 v cm² celkový obsah bílých ploch ornamentu (zakresleného vpravo),

11.1 $\alpha={72}\degree$

11.2 $\beta<{66}\degree$

11.3 $\gamma=\alpha$